
В основе фамилий — отчество от прозвища Багай (уменьшительное — Багаец) из диалектного багай — «шалун, озорник». Возможно и другое предположение: не исключено, чтофамилии отражают акающее произношение и восходят к прозвищу Богай из тюркского boja/buja — «племенной бык», в русской адаптации слово заимствовано в форме богай/ бугай.Возможно также, что прозвище Багай восходит к нарицательному бага (см.
Багин).
Это краткая история происхождения и значения фамилии Багаев, Багайцев.